深圳雙十關于波包再現結構
    由式((1.24)可知，當t較小時，式((1.24)中相位第一項起主導作用，波函
數W (r, t)在時間軸上以周期Tc呈近似的周期性變化。時間t進一步增加并與Trev
相比擬，周期運動受第二項的調制，并最終導致波包的擴展和塌縮。然而當t再增
加，使第二項的數值等于2711時，波函數的變化與第二項無關(位相增加了271)，
波函數的變化再次僅由第一項決定，結果是波函數再現了其初始狀態，并以Te為
周期作周期性變化，這一過程為完全復原過程。當時間大于Trev但又遠小于Tsuper
rev時，波函數將多次重復周期性變化的波包再現過程，每當t為Trev的整數倍時，
相位也為271的整數倍。在一些特殊的時刻，t-~-7 Trev之比為有理分數，波包匯聚成
一系列子波，稱為分數期回復波包。分數期回復的子波包運動同樣具有周期性，
運動周期為Tc的分數倍。
    式((1.24)中含時位相中的第三項調制波包運動的整個周期，包括波包塌
縮、分數期和整數期周期性再現。當時間t和Tsuper rev相比擬時，整個波包再現過
程塌縮，而新的波包再現過程受Tsuper rev控制。在時刻t= (1/q) Tsuper rev，其中q
為3的倍數，同樣波包將演化成一系列的子波包，稱為分數期超回復波包，波包的
運動周期為(3/q) Tsuper rev。特別是，當t=Tsuper rev時，波函數重新回復到初始
波包，回復程度甚至好于全回復時刻(Trev)的波形。這一新的演化波包結構稱為
超回復。
    上述分析可知，波包演化的時間結構取決于木征能量與量子數問的關系。舉
幾個簡單的例子說明波包在各種勢阱中的演化過程。
    (i)簡單諧振子系統
    諧振子的木征能級為E11= (n十1/2) hco，取自然單位h=c)=i，有
，可見在諧振子系統波包的演化呈完美的周期性運動，并在T。的整數倍時刻完全
回復初始時刻波包的形狀。波包既不會塌縮，也不存在回復和超回復期。該結論
同樣也適用于D維諧振子，該量子系統的木征能量為E11= (n+D/2) hw o
    圖1.9為一維諧振子波包在一個經典軌道周期內的演化過程，參數取
                                        萬=15
，6=1.5。如圖1.9所示，波包開始處于勢阱右側的折返點，對應于經典振子。值得
注意的是，盡管波包是定域的，但其形狀并不是高斯波形，波包在運動過程中波
形會發生改變。這一點和圖L7的諧振子不同，兩者的區別是，前者是所有木征態
的相干疊加，而后者僅僅取能量空間中某一片段對應的木征態的相干疊加。盡管
如此，波包還是遵循經典運動過程，周期為
                          Tc=2刁E務=27r
或Tc=27t/Wco c)c為相應的圓頻率。這一差別可由不確定性原理來解釋，即空間位
置的不確定性與動量的不確定性滿足傅里葉變換。波包在空間的彌散表示位置的
不確定性，能量分布的寬度表示動量的不確定性。因此相干疊加的能態能譜越
寬，波包的定域性越好，反之亦然。
    對于類Morse勢函數型的非諧性系統，非諧性振子的能級可表示為E=hc)
(n-Bn'- )，其中。為基頻，B為非諧性系數。取自然單位h=c)=i，有E轟=1-
                            2 H,, .以一一2B. E;,一。
?？梢娫趯Ψ侵C性振子系統而言，波包的經典振動周期為
                                          T,=2二/(1一2Bn)
，與波包的平均振動量子數萬及非諧性系數B相關，萬或B越人，振動頻率越低。
與諧性振子不同，非諧性振子存在一相位回復周期Ti.ev=271/B或Trev=271/
(c,)B)，但不存在超回復周期。
(3)剛性轉子
剛性轉子的Hamiltonian為
，Lz為角動量，I為轉動慣量，
周期性邊界條件，并表示為Wil
    H=1,'121
為簡便起見，取原子單位且令I=1。木征波函數符合
(中)=
(1/丫 27r)e"4
  木征能量為E11-n 2/2?？芍?br /> E L.一萬，E;,一1.Ell,一。
  相應的特征時間為:
Te=2二/11
=2nTc.Tsuper
波包大致回復，
Trev
rev=00
。波包的演化過程為經歷T。間隔后，
始形狀，當t=Trev時，波包完全回復。
經歷1/ 2Trev后波包更接近初